Operaciones con binarios

Operaciones con binarios

El sistema binario está compuesto por dos dígitos o elementos 0 y 1. También se le conoce como sistema base 2, ya que utilizan potencias de dos para representar los números. Ejemplo:

1101 → 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

De forma decimal se expresaría:

8 + 4 + 1 = 13 = 1101

En el sistema binario 1101 representa el 13 en el sistema decimal.

SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

Debemos seguir las siguientes reglas:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Ejemplo:

      100110101
    +  11010101
    ———————————
     1000001010

• Empezamos de derecha a izquierda, sumamos  1 + 1 = 10 colocamos el 0 y llevamos 1 (rojo).
• En la siguiente columna sumamos el 1(rojo) + 0 = 1 y 1 + 1 = 10, colocamos el cero y llevamos 1 (rojo),.
• Tercera columna 1(rojo) + 1 = 10 y 10 + 0 = 10, colocamos el 0 y llevamos 1(rojo).
• Cuarta columna 1(rojo) + 1 = 10 y 10 + 1 = 11, colocamos 1 y llevamos 1(rojo).
• Quinta columna 1(rojo) + 1 = 10 y 10 + 0 = 10, colocamos 0 y llevamos 1(rojo).
• Sexta columna, 1 (rojo) + 0 = 1 y 1 + 1 = 10, colocamos 0 y llevamos 1(rojo).
• Séptima columna, 1(rojo) + 0 = 1 y 1 + 1 = 10, colocamos el 10 finalmente.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS BINARIOS

La multiplicación de binarios se obtiene de la misma forma que la multiplicación decimal.

Ejemplo:

   10110       
         1001                    
    —————————          
        10110               
       00000                
      00000                
     10110                
    —————————           
     11000110

Conversión entre binarios y decimales, binario a octal y de binario a hexadecimal

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

• 110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1
0*(2) elevado a (1)=0
1*(2) elevado a (2)=4
0*(2) elevado a (3)=0
1*(2) elevado a (4)=16
1*(2) elevado a (5)=32
La suma es: 53

• 10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1
1*(2) elevado a (1)=2
1*(2) elevado a (2)=4
0*(2) elevado a (3)=0
1*(2) elevado a (4)=16
0*(2) elevado a (5)=0
0*(2) elevado a (6)=0
1*(2) elevado a (7)=128
La suma es: 151

• 110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1
1*(2) elevado a (1)=2
1*(2) elevado a (2)=4
0*(2) elevado a (3)=0
1*(2) elevado a (4)=16
1*(2) elevado a (5)=32
La suma es: 55

Decimal a binario

Se divide el número decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y así sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación se puede ver un ejemplo con el número decimal 100 pasado a binario.

100 |_2
 0   50 |_2
      0  25 |_2         --> 100  1100100
          1  12 |_2
              0  6 |_2
                 0  3 |_2
                    1  1

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo por dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Y luego se haría un cuadro con las potencias con el resultado.

Ejemplo:

100|0
 50|0
 25|1   --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2
 12|0
  6|0
  3|1
  1|1   --> 100  1100100

Función booleana

1. 
   
2. Función booleana
3. Antes de desarrollar la pregunta tengamos claro algunos conceptos:
   Tablas De Verdad
   Son un medio para describir la manera en que la salida de un circuito lógico depende de los niveles lógicos que haya en la entrada del circuito.
   En una tabla se muestra que ocurre al estado de salida con cualquier grupo de condiciones de entrada, los verdaderos valores de salida dependerán del tipo de circuito lógico.
   El número de combinaciones de entrada será igual a 2 para una tabla de verdad con "n" entradas.
   Dos de los teoremas más importantes del álgebra booleana fueron enunciados por el matemático DeMorgan. Los Teoremas de DeMorgan son de gran utilidad en la simplificación de expresiones en las cuales se invierte un producto o suma de variables. Los dos teoremas son:
   a) La expresión booleana es:
    F (A, B, C, D)=
   aplicando las leyes de DEMORGAN
   F (A, B, C, D)=
   F (A, B, C, D)=
   Como tenemos 4 entradas entonces para la tabla sería: 2 , entonces tenemos 16 combinaciones.

   A	B	C	D	F
   0	0	0	0	1
   0	0	0	1	0
   0	0	1	0	0
   0	0	1	1	0
   0	1	0	0	1
   0	1	0	1	0
   0	1	1	0	0
   0	1	1	1	0
   1	0	0	0	1
   1	0	0	1	0
   1	0	1	0	0
   1	0	1	1	0
   1	1	0	0	1
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	1
   1	1	1	1	1

   b) La expresión booleana es:
    F (A, B, C, D)=
   Como tenemos 4 entradas entonces para la tabla sería: 2 , entonces tenemos 16 combinaciones.

   A	B	C	D	F
   0	0	0	0	0
   0	0	0	1	0
   0	0	1	0	0
   0	0	1	1	0
   0	1	0	0	0
   0	1	0	1	0
   0	1	1	0	0
   0	1	1	1	0
   1	0	0	0	0
   1	0	0	1	0
   1	0	1	0	0
   1	0	1	1	0
   1	1	0	0	0
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	1
   1	1	1	1	1

   c) La expresión booleana es:
    F (A, B, C, D)=
   Como tenemos 4 entradas entonces para la tabla sería: 2 , entonces tenemos 16 combinaciones.

   A	B	C	D	F
   0	0	0	0	0
   0	0	0	1	0
   0	0	1	0	0
   0	0	1	1	0
   0	1	0	0	0
   0	1	0	1	0
   0	1	1	0	0
   0	1	1	1	0
   1	0	0	0	0
   1	0	0	1	0
   1	0	1	0	0
   1	0	1	1	0
   1	1	0	0	0
   1	1	0	1	1
   1	1	1	0	1
   1	1	1	1	1

4. Escribir la expresión booleana y la tabla de verdad de los circuitos mostrados
   
   Dibujar un diagrama de circuito lógico, utilizando solo compuertas NAND de 2 entradas.
   Asumir que solo disponemos de entradas directas(sin complementar)
   Utilice 7400 y numere los pines para todas las conexiones en su circuito.
   La fórmula se pueda escribir como:
   Siguiendo la ley de DEMORGAN
   
   
   

   X	Y	Z	F
   0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 1 0 1 0 0

5. Escribir la tabla de verdad para la función lógica:
   a) XOR de 2 entradas

   A	B	Z
   0	0	0
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	0

   

   A	B	C	Z
   0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 1 0 1 0 0 1

   b) XOR de 3 entradas
   
6. Dibujar la tabla de verdad y la expresión booleana e una puerta XOR de 2 y 3 entradas.

   A	B	C	F
   0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 1 0 1 0 1 0

7. Escriba la tabla de verdad de la función: F = ((A + B). C)
   La expresión Booleana:
   Z =

   A	B	Z
   0	0	0
   0	1	1
   1	0	1
   1	1	0

8. Escribir la expresión booleana y la tabla de verdad del circuito mostrado:

   C	B	A	Y
   0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 0 1 0 0 0

9. Diseñar el circuito que responde a la siguiente tabla de verdad
10. Obtener la función booleana el siguiente circuito. Implementar con CI-TTL simplificar el circuito y verificar la equivalencia.

La función booleana es la siguiente:

X	Y	Z	F
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 1 1 1 0 1

Simplificando:

El circuito es el siguiente:

X	Y	Z	F
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 1 1 1 0 1